Question

（1）椭圆C： （a＞b＞0）与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M

Answer 1

（1）椭圆C：

（a＞b＞0）与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：

为定值b ²-a ²。

（2）由（1）类比可得如下真命题：双曲线C：

（a＞0，b＞0）与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，则

为定值，请写出这个定值（不要求给出解题过程）。

（1）设点P（x ₀，y ₀），x ₀≠±a

依题意，得A（-a，0），B（a，0），

∴直线PA的方程为

令x=0，得

同理可得

∴

∵点P（x ₀，y0）是椭圆C上一点

∴

∴

∴

∵

∴

。

（2）

。