Question

棱长为1的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，点M，N分别在线段AB 1 ，BC 1 上，且AM=BN，

Answer 1

对于①，分别作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E、F，连结EF

由AM=BN利用正方体的性质，可得四边形MNEF为平行四边形

∴MN ∥ EF，可得MN ∥ 平面ABCD

∵AA ₁⊥平面ABCD，∴AA ₁⊥MN，因此可得①正确；

对于②，连结B ₁D ₁、AD ₁，可得∠B ₁AD ₁就是异面直线AB ₁，BC ₁所成的角

∵△B ₁AD ₁是等边三角形，∴∠B ₁AD ₁=60°

因此异面直线AB ₁，BC ₁所成的角为60°，得到②正确；

对于③，四面体B ₁-D ₁CA的体积为

V= V ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1 -4 V B 1 -ABC =1-4×

1

6 =

1

3 ，得到③正确；

对于④，根据A ₁B ₁⊥平面BB ₁C ₁C，得到A ₁B ₁⊥BC ₁，

由正方形BB ₁C ₁C中证出B ₁C⊥BC ₁，所以BC ₁⊥平面A ₁B ₁C，

结合A ₁C⊂平面A ₁B ₁C，得A ₁C⊥BC ₁，同理可证出A ₁C⊥AB ₁，从而得到④正确

综上所述，四个命题都是真命题

故选：D

1年前

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