解题思路：先将立方和公式展开，然后移项提取公因式，从而讨论因式为0的情况，注意在讨论[（a+b）2+1+a+b]-3ab（a+b-1）=0要用到根的判别式．
由题意得：（a+b）（a2+b2-ab）+3ab=1
（a+b）[（a+b）2-3ab]+3ab=1
（a+b）（a+b）2-3ab（a+b）+3ab-1=0
[（a+b）3-1]-3ab（a+b-1）=0
（a+b-1）[（a+b）2+1+a+b]-3ab（a+b-1）=0
（a+b-1）[（a+b）2+1+a+b-3ab]=0
∴（a+b-1）=0或（a+b）2+1+a+b-3ab=0，
由（a+b）2-3ab+（a+b）+1=0整理得：a2-（b-1）a+（b2+b+1）=0，
又∵a，b是实数，所以上述方程有实数解，
dalta=（b-1）2-4（b2+b+1）≥0
也就是：（b+1）2≤0，
故：b=-1，代入上式解得a=-1，
所以此时a+b=-2；
综上所述可得：a+b=1或a+b=-2．
故答案为：1或-2．
点评：
本题考点： 立方公式；代数式求值．
考点点评： 本题考查了立方公式的知识，中间结合了完全平方式及根的判别式，难度较大，注意细心解答．