Question

已知函数f（x）=（1+ 1 tanx ）sin 2 x+msin（x+ π 4 ）sin（x- π 4 ）

Answer 1

（1）当m=0时，函数f（x）=（1+

1

tanx ）sin ²x=

sinx+cosx

sinx •sin ²x=sin ²x+sinxcosx=

1-cos2x

2 +

1

2 sin2x=

1

2 +

2

2 sin（2x-

π

4 ）．

∵

π

8 ≤x≤

3π

4 ，∴0≤2x-

π

4 ≤

5π

4 ，∴-

2

2 ≤sin（2x-

π

4 ）≤1，0≤f（x）≤

1+

2

2 ，

故f（x）在区间[

π

8 ，

3π

4 ]上的取值范围为[0

1+

2

2 ，]．

（2）∵当tana=2时，f（a）=

3

5 ，∴sin ²a=

4

5 ，cos ²a=

1

5 ．

再由f（a）=（1+

1

tana ）sin ²a+msin（a+

π

4 ）sin（a-

π

4 ）=

3

2 sin ²a+m（

1

2 sin ²a-

1

2 cos ²a ）=

12+3m

10 ，

可得

12+3m

10 =

3

5 ，解得m=-2．