楼主,你大概是我的学长（或学姐）了,看到你的问题时感到十分亲切,因为我也有同样的疑问
我的看法是这样的：
假如存在一个处处间断的单调函数,那么在这个函数的定义域内,每个点必各自孤立；
这个意思是说,x处的函数值f(x)与x+dx处的函数值f(x+dx)不同,后者较大.dx是 得塔x,
不仅如此,当dx趋于0时,f(x+dx)-f(x)仍是一个常数（正实数）,而非无穷小
那么,这个区间里所有x 当dx趋于0时 对应的f(x+dx)-f(x)差值必有一个大于0的最小值
将这无穷个差值累加,就是无穷大了,
所以此函数任意两点处的函数值之差都是无穷大.
真的存在这样的函数吗?
对于可以求导的函数,我们用切线的斜率描述它们函数值的变化快慢,
但对这个函数,任何有限数（斜率）都不足以表达它函数值变化之快；
这让我想到了垂直于x轴的直线,它们的斜率可以看作无穷大,
但是我们讨论的函数却不像这垂直的直线,直线x值唯一,而我们说的函数x值并非只有一个.
我觉得问题应该出在实数的连续性上：
我们的假设是函数处处间断（在一个区间上的点都间断,就是无穷个间断了）,
那么任意小的dx,都导致函数值尺度无穷的变化,因为再小的dx
总可以在x与x+dx之间分出更小的区间,里面包含（可能是）无限 的 x',有x'1、x'2、x'3...
所以,在x变化尺度（近乎）为0时,函数值变化尺度已经是无穷了.
“x变化尺度（近乎）为0”（我们讨论的函数）和“x不变化”（垂直直线）有什么区别呢?
因为函数处处间断,我们总要考虑只比x大一点的数x',
这个x'必须比其他任何大于x的数更接近与x,
（若否,则存在x'',它比x'更接近于x,我们就得考虑它对应的函数值）
但是 由 实数的连续性,这样的数是不存在的,
如果存在一个数任意地接近x,那这个数非x自己莫可.
综上,我认为这样的函数不存在.
因为处处间断的函数 本来图像就画不出来；再加上单调增 更是无可避免地要考虑
相邻的实数,而这与实数的性质不符.
（这个函数不能是垂直于x轴的直线,因为直线x值唯一）
以上是我个人的看法,欢迎高手指点；
望楼主看到能回复一下,便是对我辛苦敲字的认可.