Question

函数极限设limAn=a,证明lim(An的开方)=(a的开方)

Answer 1

前提是An≥0,且a≥0

若a=0,则由limAn=0,任给一个ε＞0,存在正数N,使得当n＞N时有An＜ε^2,从而√An＜ε即|√An-0|＜ε,故有lim√An=0.

若a＞0,则有|√An-√a|=|An-a|/(√An+√a)≤|An-a|/√a

任给一个ε＞0,由limAn=a,存在正数N,使得当n＞N时有|An-a|＜ε√a,从而|√An-√a|＜ε,即lim√An=√a.证毕.