已知F(12,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点N(x0,y0)(y0>0)为其上一点,点M与点N关于x轴对称

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  • 解题思路:(Ⅰ)由题意知:p=1,x0=2,y02=4,y0>0,得y0=2,由此能求出抛物线方程和N点坐标.(Ⅱ)由题意知直线的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+b(t∈R),联立方程y2=2xx=ty+b得y2-2ty-2b=0,设两个交点A(y212y1,),B(y222,y2),由kPA•kPB=y1−2y212−2−y2−2y222−2=4(y1+2)(y2+2)=−2,得b=2t+3,由此能求出当t=-2时S有最小值为2,此时直线l'的方程为x+2y+1=0.

    (Ⅰ)由题意[p/2=

    1

    2],

    ∴p=1,

    所以抛物线方程为y2=2x.

    |NF|=x0+

    p

    2=

    5

    2,

    x0=2,y02=4,

    ∵y0>0,

    ∴y0=2,

    ∴N(2,2).(4分)

    (Ⅱ)由题意知直线的斜率不为0,

    设直线l的方程为x=ty+b(t∈R)

    联立方程

    y2=2x

    x=ty+b得y2-2ty-2b=0,

    设两个交点A(

    y21

    2y1,),B(

    y22

    2,y2)(y1≠±2,y2≠±2)

    △=4t2 +8b>0

    y1+y2=2t

    y1y2=−2b,…(6分)

    kPA•kPB=

    y1−2

    y21

    2−2−

    y2−2

    y22

    2−2=

    4

    (y1+2)(y2+2)=−2,

    整理得b=2t+3…(8分)

    此时△=4(t2+4t+6)>0恒成立,

    由此直线l的方程可化为x-3=t(y+2),

    从而直线l过定点E(3,-2)…(9分)

    因为M(2,-2),

    所以M、E所在直线平行x轴

    三角形MAB面积S=

    1

    2|ME||y1−y2|=

    t2+4t+6=

    (t+2 )2+2,…(11分)

    所以当t=-2时S有最小值为

    2,

    此时直线l'的方程为x+2y+1=0…(12分)

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程;抛物线的简单性质.

    考点点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,是高考的重点,易错点是知识体系不牢固.本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.