解题思路：（1）解含有参数的一元二次不等式，能因式分解的先因式分解，再对参数进行讨论；（2）将不等式恒等变形，转化为双勾函数，利用双勾函数的单调性，求出最小值；（3）将不等式恒等变形，转化二次函数，利用二次函数的单调性，求出最大值，再利用双勾函数的单调性，求出最大值．
（1）由f（x）＞6a2得：x2-ax-6a2⇔（x+2a）（x-3a）＞0，
当a＞0时，-2a＜3a，不等式的解集为（-∞，-2a）∪（3a，+∞）；
当a=0时，-2a=3a=0，不等式的解集为（-∞，0）∪（0，+∞）；
当a＜0时，3a＜-2a，不等式的解集为（-∞，3a）∪（-2a，+∞）；
（2）f（x）+4＞0⇔x2-ax+4＞0，在x∈[1，3]时恒成立，
∴a＜x+[4/x]，令h（x）=x+[4/x]，则h（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，
∴h（x）min=h（2）=4，∴a＜4，即a的取值范围为（-∞，0）∪（0，4）；
（3）g（x）≥x+b，⇔ax2+2bx+3≥x+b⇔ax2≥（1-2b）x+b-3
当x=0时，不等式成立，
当x≠0时，a≥
b−3
x2+
1−b
x，令t=[1/x]则t∈（-∞，0）∪（0，+∞），
令：h（t）=（b-3）t2+（1-b）t，要使a≥h（t）成立，即求h（t）的最大值，
∵b-3＜0，∴h（t）max=
−(1−b)2
4(b−3)=[1/4•
(3−b)2+4(b−3)+4
3−b]=[1/4•[(3−b)+
4
3−b−4]，
令m=3-b，则m∈[1，3]，令k（m）=
1
4•(m+
4
m−4)，则k（m）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，
又∵k（1）=
1
4]，k（3）=[1/12]，∴k（m）max=[1/4]，
∴a≥
1
4，即a的取值范围为（-∞，[1/4]]．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查了，含有参数的一元二次不等式的解法，要对参数进行讨论，同时考查了不等式的恒成立问题，利用双勾函数的单调性，解决求函数的最值．属于中档题．