已知函数f(x)=x2-2ax+4b2,a,b∈R

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  • 解题思路:(1)为古典概型,只需列举出所有的基本事件和符合条件的基本事件,作比值即可;

    (2)为几何概型,只要得出两个区域的面积,由几何概型的公式可得.

    (1)∵a为取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b为取集合{0,1,2}中任一个元素,

    ∴a,b的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),

    (2,0),(2,1),(2,2)(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,

    第二个数表示b的取值,即基本事件总数为:12.

    设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A,

    当a≥0,b≥0时,方程f(x)=0有两个不相等实根的充要条件为:a>2b.

    当a>2b时,a,b取值的情况有(1,0),(2,0),(3,0),(3,1),

    即A包含的基本事件数为:4,

    ∴方程f(x)=0有两个不相等实根的概率:p(A)=

    4

    12=

    1

    3

    (2)∵a是从区间[0,2]中任取一个数,b是从区间[0,3]中任取一个数,

    则试验的全部结果构成区域Ω={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3},

    这是一个矩形区域,其面积SΩ=2×3=6.

    设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成的区域为

    M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<2b},

    它所表示的部分为梯形,其面积S′=6-

    1

    2×2×1=5

    由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根的概率:p(B)=

    S′

    S=

    5

    6

    点评:

    本题考点: 几何概型;古典概型及其概率计算公式.

    考点点评: 本题以一元二次方程的根为载体,考查古典概型和几何概型,属基础题.