（2014•江苏模拟）已知数列{an}满足an+1 - 知识问答

（2014•江苏模拟）已知数列{an}满足an+1+an−1an+1−an+1=n（n∈N*），且a2=6．

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解题思路：（1）把式子“
a
n+1
+
a
n
−1
a
n+1
−
a
n
+1
＝n
”得（n-1）a_n+1-（n+1）a_n=-（n+1），当n≥2时两边同时除以（n+1）（n-1），再进行变形利用叠加法求出a_n，验证：a₁=1，a₂=6是否成立；
（2）由题意求出前三项，再根据等差中项求出c的值，求出b_n=2n，再求出c_n，由错位相减法求出S_n=c₁+c₂+…+c_n的表达式．
（1）由
an+1+an−1
an+1−an+1＝n，得（n-1）a_n+1-（n+1）a_n=-（n+1），
当n≥2时，有
an+1
n+1-
an
n−1=-[1/n−1]，…（3分）
所以，
an+1
n(n+1)-
an
n(n−1)=-[1
n(n−1)=-（
1/n−1]-[1/n]），…（6分）
由叠加法，得当n≥3时，a_n=n（2n-1）． …（8分）
把n=1，a₂=6代入
an+1+an−1
an+1−an+1＝n，得a₁=1，经验证：a₁=1，a₂=6均满足a_n=n（2n-1）．
综上，a_n=n（2n-1），n∈N*．…（10分）
（2）由（1）可知：b_n=
n(2n−1)
n+c，于是b₁=[1/1+c]，b₂=[6/2+c]，b₃=[15/3+c]，
由数列{b_n}是等差数列，得b₁+b₃=2b₂，
即[1/1+c]+[15/3+c]=[12/2+c]，解得c=-[1/2]（c=0舍去）．
所以，数列{b_n}是等差数列．所以c=-[1/2]满足题意．
此时，b_n=2n…（13分）
所以，c_n=
bn
2n=
点评：
本题考点：数列的求和；数列递推式．
考点点评：本题考查等差、等比数列的前n项和公式，裂项相消法和叠加法，错位相减法求数列的和，熟练掌握公式和数学方法是解题的关键．

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