Question

已知f（x）=x2-ax+4．（1）当a=2时，解不等式f（x）＞x+14；（2）若f（x）≤0对x∈[1，4]恒成立，

Answer 1

解题思路：（1）先把不等式整理成标准形式，再进行因式分解，从而可得不等式的解集．

（2）由x²-ax+4≤0对一切x∈[1，4]恒成立可得，

a≥x+

4

x

在x∈[1，4]上恒成立从而转化为a≥（x+[4/x]）_max结合函数性质得到

y＝x+

4

x

在x∈[1，4]的最大值为5，即可求a的取值范围．．

（1）当a=2时，不等式f（x）＞x+14等价于x²-2x+4＞x+14

即是x²-3x-10＞0，解得x＜-2或x＞5

故不等式的解集是{x|x＜-2或x＞5}；

（2）∵x²-ax+4≤0对一切x∈[1，4]恒成立，

∴a≥x+

4

x在x∈[1，4]上恒成立

构造函数y＝x+

4

x，x∈[1，4]

∴a≥y_max

∵函数y＝x+

4

x在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增

故y在x=1或4时，取得最大值5，

故a的取值范围是：a≥5

点评：

本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题主要考查一元二次不等式的解法以及函数恒成立问题，此类问题，①问关键是把次项系数化为正数，再进行因式分解，同时注意三个二次之间的关系．②问常构造函数，转化为求解函数的最值问题：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立⇔a＞f（x）max（或a＜f（x）min），体现了转化思想在解题中的应用．