Question

已知O为三角形ABC的外心,H为垂心,求证向量OH

Answer 1

注,以字母直接表示向量,如AH表示向量AH

由 AH*BC=0 得 AH*BC=(OH-OA)*BC=0

又(OB+OC)*BC=0 （显然中垂线垂直于边BC）

相减得 (OH-OA-OB-OC)*BC=0

同理得 (OH-OA-OB-OC)*AC=0

若(OH-OA-OB-OC)不为零向量,则其同时垂直于BC和AC,而BC和AC不互相平行,矛盾

所以OH-OA-OB-OC必须为零向量

即OH=OA+OB+OC