Question

（2009•襄阳模拟）已知数列{an}的前n项和Sn是二项式（1+2x）2n（n∈N* ）展开式中含x奇次幂的系数和．

Answer 1

解题思路：（1）记（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+…+a_2nx²ⁿ，利用赋值可分别令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+…+a_2n，令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n两式相减得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1），从而可求

（2）由（1）可得

f(n)＝

4

4×

9

n

+12

＝

1

9

n

+3

，注意到f（n）+f（1-n）=[1/3]，从而可考虑利用倒序相加求和即可

（3）由

a

n

(

a

n

−4)(

a

n+1

−4)

＝

4×

9

n−1

(4×

9

n−1

−4)(4×

9

n

−4)

=

9

n−1

4(

9

n−1

−1)(

9

n

−1)

=

1

32

(

1

9

n−1

−1

−

1

9

n

−1

)

，故可以利用裂项求和先求和，然后利用二展开式进行放缩可证

（1）记（1+2x）²ⁿ=a₀+a₁x+…+a_2nx²ⁿ

令x=1得：3²ⁿ=a₀+a₁+…+a_2n

令x=-1得：1=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n

两式相减得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）

∴Sn＝

1/2(9n−1)（2分）

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4×9^n-1

当n=1时，a₁=S₁=4，适合上式

∴a_n=4×9^n-1（4分）

（2）f(n)＝

4

4×9n+12＝

1

9n+3]

注意到f(n)+f(1−n)＝

1

9n+3+

1

91−n+3=[1

9n+3+

9n

9+3×9n＝

1/3]（6分）

令T＝f(0)+f(

1

n)+f(

2

n)+…+f(

n

n)

则T=f(

n

n)+f(

n−1

n)+…+f(

1

n)+f(0)

∴2T＝[f(0)+f(

n

n)]+[f(

1

n)+f(

n−1

n)]+…+[f(

n−1

n)+f(

1

n)]+[f(

n

n)+f(0)]

故T＝

n+1

6，即f（0）+f（[1/n]）+f（[2/n]）+…+f（[n/n]）=[n+1/6]（8分）

（3）

an

(an−4)(an+1−4)＝

4×9n−1

(4×9n−1−4)(4×

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题主要考查了利用赋值法求二项展开式的系数，及数列求和中的倒序相加、裂项求和等方法的应用，还要注意放缩法在证明不等式中的应用．