解题思路:作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为O1,O2,球心为O,一个顶点为A,如右图.可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA,再用球的体积公式即可得到外接球的体积.
作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边
,
设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为O1,O2,则球心O是O1,O2的中点.
∵正六棱柱底面边长为
3
2,侧棱长为
6
∴Rt△AO1O中,AO1=
3
2,O1O=
6
2,可得AO=
AO12+O1O2=
3
2
因此,该球的体积为V=
4
3π•(
3
2)3=
9π
2
故答案为:
9π
2
点评:
本题考点: 球内接多面体;球的体积和表面积.
考点点评: 本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题.