(2012•普陀区一模)若一个底面边长为32,侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,则此球的体积为9π29π2.

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  • 解题思路:作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为O1,O2,球心为O,一个顶点为A,如右图.可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA,再用球的体积公式即可得到外接球的体积.

    作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边

    设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为O1,O2,则球心O是O1,O2的中点.

    ∵正六棱柱底面边长为

    3

    2,侧棱长为

    6

    ∴Rt△AO1O中,AO1=

    3

    2,O1O=

    6

    2,可得AO=

    AO12+O1O2=

    3

    2

    因此,该球的体积为V=

    4

    3π•(

    3

    2)3=

    2

    故答案为:

    2

    点评:

    本题考点: 球内接多面体;球的体积和表面积.

    考点点评: 本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题.