解题思路：（1）求出原函数的导函数，由导数值等于2求得a的值，则切点可求，代入直线方程的点斜式求得切线方程；
（2）求出元函数的导函数，可得当a≥0时导函数在定义域内大于0恒成立，当a＜0时求出导函数的零点，由零点对函数的定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到函数的单调区间；
（3）令g（x）=f（x-1）-（2x-5），求其导函数，得到g′（x）＜0，则g（x）在[2，+∞）上递减，从而证得答案．
（1）∵f(x)＝alnx−
1
x，
∴f′(x)＝
a
x+
1
x2．
由已知得f′（1）=a+1=2，则a=1，那么切点为（1，-1）．
故切线方程为y+1=2（x-1），即2x-y-3=0；
（2）由于f′(x)＝
a
x+
1
x2＝
ax+1
x2(x＞0)．
当a≥0时，恒有f′（x）＞0，那么f（x）在（0，+∞）上递增；
当a＜0时，由f′（x）=0，得x＝−
1
a．
若x∈(0，−
1
a)，则f′（x）＞0，那么f（x）在(0，−
1
a) 递增．
若x∈(−
1
a，+∞)，则f′（x）＜0，那么f（x）在(−
1
a，+∞)递减；
（3）证明：当a=1时，令g（x）=f（x-1）-（2x-5），
则g(x)＝ln(x−1)−
1
x−1−2x+5．
g′(x)＝
1
x−1+
1
(x−1)2−2=−
(2x−1)(x−2)
(x−1)2．
当x≥2时，g′（x）＜0，则g（x）在[2，+∞）上递减，那么g（x）≤g（2）=0．
故当a=1且x≥2时，f（x-1）≤（2x-5）．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查了利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用构造函数法证明不等式，是压轴题．