15．所求条件为1／a2＋1／b2＝1．证明如下：
必要性：易知,圆外切平行四边形一定是菱形,圆心即菱形中心．
假设结论成立,则对点（a,0）,有（a,0）为顶点的棱形与C1内接,与C0外切．（a,0）的相对顶点为（－a,0）,由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上,为（0,b）和（0,－b）．菱形一条边的方程为x／a＋y／b＝1,即bx＋ay＝ab．由于菱形与C0外切,故必有 ,整理得1／a2＋1／b2＝1．必要性得证．
充分性：设1／a2＋1／b2＝1,P是C1上任意一点,过P、O作C1的弦PR,再过O作与PR垂直的弦QS,则PQRS为与C1内接的菱形．设｜OP｜＝r1,｜OQ｜＝r2,则点P的坐标为（r1cosθ,r1sinθ）,点Q的坐标为（r2cos（θ＋ ）,r2sin（θ＋ ））,代入椭圆方程,得
又在Rt△POQ中,设点O到PQ的距离为h,则
同理,点O到QR,RS,SP的距离也为1,故菱形PQRS与C0外切．充分性得证．