必要性：对于任意给定的ε∈(0,1）,总存在正整数N,当n≥N时,恒有|xn-a|≤2ε,则数列{xn}收敛于a
分析如下：要证明数列{xn}收敛于a,就是要证明对于任意给定的ε1>0,(注意：这个任意给定的ε1只要是正数,并且可以任意小即可,为了与已知的ε有所区别,这里任意给定的是ε1）存在正整数N,当n≥N时,就会恒有|xn-a|≤ε1成立
可现在任意给定的ε1,如果ε1∈(0,1）,由已知当然有|xn-a|≤2ε1（这个由数列收敛的定义,也是收敛的,|xn-a|≤2ε1与|xn-a|≤ε1对于收敛来说是一回事）
所以对于任意给定的ε1>0,如果ε1不属于(0,1）即ε1>1,那如何证出|xn-a|≤ε1呢?
因为ε1>1,所以2ε1-1>1只要令ε=1/(2ε1-1),则ε∈(0,1）,由题意有|xn-a|≤2ε≤2/(2ε1-1)=1/(ε1-1/2)