Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等边三角形DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图

Answer 1

（1）当F点与C点重合时，如图1所示：

∵△DEF为等边三角形，

∴∠DFE=60°，

∵∠B=30°，

∴∠BDF=90°，

∴FD=

BC=3；

（2）过E点作EG⊥AB，

∵∠DEF=60°，∠B=30°，

∴∠BME=30°，

∴EB=EM，

在Rt△EBG中，BG=x×cos30°=

x，

∴BM=2BG=

x，

∴M点在BA上的移动速度为

，F点作FH⊥F ₁D ₁，

在Rt△FF ₁H中，FH=x×cos30°=

x，

点N在BA上的移动速度为

；

（3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°

=

（3-x），

当P点运动到M点时，有2x+x=3，

∴x=1

①当P点在DM之间运动时，过P点作PP ₁⊥AB，垂足为P ₁在Rt△PMP ₁中，PM=3-x-2x=3-3x，

∴PP ₁=

（3-3x）=

（1-x），

∴y与x的函数关系式为：

（0≤x≤1），

②当P点在ME之间运动时，过P点作PP ₂⊥AB，垂足为P ₂，

在Rt△PMP ₂中，PM=x-（3-2x）=3（x-1），

∴PP ₂=

（1-x），

∴y与x的函数关系式为：

③当P点在EF之间运动时，过P点作PP ₃⊥AB，垂足为P ₃，

在Rt△PMP ₃中，PB=x+（2x-3）=3（x-1），

∴PP ₃=

（x-1），

∴y与x的函数关系式为：

∴当x=2时，y _最大=

，而当P点在D点时，

∴当P点在D点时，△PMN的面积最大。