如图1,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE.

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  • 证明:(1)过B作BM⊥DA于M,过C作CN⊥EA交EA的延长线于N,如图,

    ∵∠BAC=∠DAE=90°,

    ∴∠BAD+∠CAE=180°,

    ∵∠CAN+∠CAE=180°,

    ∴∠BAD=∠CAN

    ∵sin∠BAD=[BM/AB],sin∠CAN=[CN/AC],

    又∵AB=AC,

    ∴BM=CN,

    ∵DA=AE,

    S△ABD=[1/2]DN×BM,S△ACE=[1/2]AE×CN,

    ∴S△ADB=S△ACE

    (2)延长AM到Q使AM=QM,连接CQ、EQ,如图,

    ∵AM是△ACE中线,

    ∴CM=EM,

    ∴四边形ACQE是平行四边形,

    ∴AC=EQ=AB,AE=CQ=AD,AC∥EQ,

    ∴∠CAE+∠AEQ=180°,

    ∵∠BAD+∠CAE=180°,

    ∴∠BAD=∠AEQ,

    ∵在△BAD和△QEA中

    AB=EQ

    ∠BAD=∠AEQ

    AD=AE

    ∴△BAD≌△QEA,

    ∴∠BDA=∠EAM,

    ∵∠DAE=90°,

    ∴∠NAD+∠QAE=90°,

    ∴∠BDA+∠NAD=90°,

    ∴∠DNA=180°-90°=90°,

    ∴MN⊥BD.