Question

在平面直角坐标系xOy中,已知焦点为F的抛物线x^2=4y上有两个动点A,B,且向量AF=λ向量FB,

Answer 1

【解析】(1)设A(x1,),B(x2,),∵焦点F(0,1),

∴=(-x1,1-),=(x2,-1).

∵,∴

消λ得x1(-1)+x2(1-)=0,

化简整理得(x1-x2)(+1)=0,

∵x1≠x2,∴x1x2=-4,∴y1y2==1,

∴=x1x2+y1y2=-3.

(2)抛物线方程为y=,∴y′=x,

∴过抛物线A、B两点的切线方程分别为

y=x1(x-x1)+和y=x2(x-x2)+,

即y=x1x-和y=,

联立解出两切线交点M的坐标为(,-1),

∴=(,-2)·(x2-x1,)= - =0.(定值)