解题思路:本题(1)利用条件将自变量转化到区间(0,
1
2]),然后利用f(x)=8x求值,得到本题结论;(2)利用条件将[1/2]<x<1转化到(0,[1/2]),利用f(x)=8x代计算,得到本题结论;(3)根据函数周期性,求出f(x)的解析式,再结合条件k∈N*,使2k+[1/2]<x<2k+1,分类讨论,求出x的范围,得到本题结论.
(1)∵函数f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∵f(x+1)=-[1
f(x),当x∈(0,
1/2])时,f(x)=8x,
∴f(-[1/3])=-f([1/3])=-8
1
3=-2,
f([2/3])=f(−
1
3+1)=-[1
f(−
1/3)]=[1
f(
1/3)]=[1
8
1/3]=[1/2],
f([5/3])=f(1+[2/3])=−
1
f(
2
3)=-[1
1/2]=-2,
∴f(-[1/3]=-2,f([2/3])=[1/2],f([5/3])=-2.
(2)∵f(x+1)=-[1
f(x),
∴f(x+2)=-
1
f(x+1)=-
1
−
1
f(x)=f(x),
∴T=2为函数f(x)的一个周期.
当x∈(
1/2,1)时,1-x∈(0,
1
2]),
f(x)=-f(-x)=-[-[1
f(−x+1)]=
1
f(1−x)=8x-1.
∴当x∈(
1/2,1)时,f(x=8x-1.
(3)∵2k+
1
2]<x<2k+1,
∴f(x)=8x-2k-1,
∵不等式log8f(x)>x2-(k+3)x-k+2,
∴x-2k-1>x2-(k+3)x-k+2,
∴x2-(k+4)x+k+3<0,
∴1<x<k+3,
∵k∈N*,使2k+[1/2]<x<2k+1,
经验算可得:
①当k=1时,[5/2<x<3;
②当k=2时,
9
2<x<5,
③当k>2时,不等式无解.
点评:
本题考点: 函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法.
考点点评: 本题考查了函数的奇偶性、周期性和解一元二次不等式,还考查了分类讨论的数学思想,本题难度适中,属于中档题.
1年前
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