已知f(x)是奇函数,且有f(x+1)=-[1f(x),当x∈(0,1/2])时,f(x)=8x,

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  • 解题思路:本题(1)利用条件将自变量转化到区间(0,

    1

    2]),然后利用f(x)=8x求值,得到本题结论;(2)利用条件将[1/2]<x<1转化到(0,[1/2]),利用f(x)=8x代计算,得到本题结论;(3)根据函数周期性,求出f(x)的解析式,再结合条件k∈N*,使2k+[1/2]<x<2k+1,分类讨论,求出x的范围,得到本题结论.

    (1)∵函数f(x)是奇函数,

    ∴f(-x)=-f(x).

    ∵f(x+1)=-[1

    f(x),当x∈(0,

    1/2])时,f(x)=8x

    ∴f(-[1/3])=-f([1/3])=-8

    1

    3=-2,

    f([2/3])=f(−

    1

    3+1)=-[1

    f(−

    1/3)]=[1

    f(

    1/3)]=[1

    8

    1/3]=[1/2],

    f([5/3])=f(1+[2/3])=−

    1

    f(

    2

    3)=-[1

    1/2]=-2,

    ∴f(-[1/3]=-2,f([2/3])=[1/2],f([5/3])=-2.

    (2)∵f(x+1)=-[1

    f(x),

    ∴f(x+2)=-

    1

    f(x+1)=-

    1

    1

    f(x)=f(x),

    ∴T=2为函数f(x)的一个周期.

    当x∈(

    1/2,1)时,1-x∈(0,

    1

    2]),

    f(x)=-f(-x)=-[-[1

    f(−x+1)]=

    1

    f(1−x)=8x-1

    ∴当x∈(

    1/2,1)时,f(x=8x-1

    (3)∵2k+

    1

    2]<x<2k+1,

    ∴f(x)=8x-2k-1

    ∵不等式log8f(x)>x2-(k+3)x-k+2,

    ∴x-2k-1>x2-(k+3)x-k+2,

    ∴x2-(k+4)x+k+3<0,

    ∴1<x<k+3,

    ∵k∈N*,使2k+[1/2]<x<2k+1,

    经验算可得:

    ①当k=1时,[5/2<x<3;

    ②当k=2时,

    9

    2<x<5,

    ③当k>2时,不等式无解.

    点评:

    本题考点: 函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法.

    考点点评: 本题考查了函数的奇偶性、周期性和解一元二次不等式,还考查了分类讨论的数学思想,本题难度适中,属于中档题.

    1年前

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