Question

已知函数f（x）= 1 2 x 2 +1nx．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得f′（x）=x+

1

x ，

当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间[1，e]上单调递增，

所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大、最小值分别为f（1）、f（e），

因为f（1）=

1

2 ，f（e）=

e 2

2 +1 ，

所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为

e 2

2 +1 ，最小值为

1

2 ；

（Ⅱ）当n=1时，不等式成立，

当n≥2时，[g（x）] ⁿ-g（x ⁿ）= (x+

1

x ) n -( x n +

1

x n )

=

C 1n x n-1 •

1

x

+C 2n x n-2 •

1

x 2 +…

+C n-1n x•

1

x n-1

=

1

2

[C 1n ( x n-2 +

1

x n-2 )

+C 2n ( x n-4 +

1

x n-4 )+…

+C n-1n (

1

x n-2 +x n-2 )] ，

由已知x＞0，所以：[g（x）] ⁿ-g（x ⁿ）≥

C 1n

+C 2n +…

+C n-1n = 2 n -2 ．