该结构叫做with复合结构
在句中使用的时候可以表示伴随状语或者条件状语
比如
The teacher came in the classroom,with a book under his arm.
We finally finished the work with Lao Li's help.
什么叫复合结构,类似初中的复合宾语结构,在宾语和宾语补足语之间存在逻辑的主谓关系,什么叫逻辑主谓关系呢,那就是宾语补足语是动作或者状态是由宾语发生的或者保持的.
比如上面的例句,under his arm 这个状态就是宾语a book 所保持的.
顺便纠正下,你的问题描述中的with sth to do 应改为with+宾语+宾语补足语结构在句中的作用.
作为条件状语,可以改为if条件句.
比如上句We finally finished the work with Lao Li's help.就可以改为：
If Lao Li hadn't help us ,we couldn't finish the work.