(2013•浙江)已知a∈R,函数f(x)=x 3 ﹣3x 2 +3ax﹣3a+3.

1个回答

  • (1)y=(3a﹣3)x﹣3a+4

    (2)|f(x)| max=

    (1)因为f(x)=x 3﹣3x 2+3ax﹣3a+3,所以f′(x)=3x 2﹣6x+3a,

    故f′(1)=3a﹣3,又f(1)=1,所以所求的切线方程为y=(3a﹣3)x﹣3a+4;

    (2)由于f′(x)=3(x﹣1) 2+3(a﹣1),0≤x≤2.

    故当a≤0时,有f′(x)≤0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,故

    |f(x)| max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3﹣3a.

    当a≥1时,有f′(x)≥0,此时f(x)在[0,2]上单调递增,故

    |f(x)| max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a﹣1.

    当0<a<1时,由3(x﹣1) 2+3(a﹣1)=0,得

    所以,当x∈(0,x 1)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;

    当x∈(x 1,x 2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;

    当x∈(x 2,2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.

    所以函数f(x)的极大值

    ,极小值

    故f(x 1)+f(x 2)=2>0,

    从而f(x 1)>|f(x 2)|.

    所以|f(x)| max=max{f(0),|f(2)|,f(x 1)}.

    当0<a<

    时,f(0)>|f(2)|.

    =

    时,|f(2)|=f(2),且f(2)≥f(0).

    =

    所以当

    时,f(x 1)>|f(2)|.

    时,f(x 1)≤|f(2)|.

    故f(x) max=|f(2)|=3a﹣1.

    综上所述|f(x)| max=