已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N

3个回答

  • 解题思路:(1)由三角形全等可以证明AH=AB,

    (2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB,

    (3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE,设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.

    (1)如图①AH=AB.

    (2)数量关系成立.如图②,延长CB至E,使BE=DN.

    ∵ABCD是正方形,

    ∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°,

    在Rt△AEB和Rt△AND中,

    AB=AD

    ∠ABE=∠ADN

    BE=DN,

    ∴Rt△AEB≌Rt△AND,

    ∴AE=AN,∠EAB=∠NAD,

    ∴∠EAM=∠NAM=45°,

    在△AEM和△ANM中,

    AE=AN

    ∠EAM=∠NAM

    AM=AM,

    ∴△AEM≌△ANM.

    ∴S△AEM=S△ANM,EM=MN,

    ∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高,

    ∴AB=AH.

    (3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,

    ∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.

    分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,

    由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.

    设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,

    在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN2=MC2+NC2

    ∴52=(x-2)2+(x-3)2(6分)

    解得x1=6,x2=-1.(不符合题意,舍去)

    ∴AH=6.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.

    考点点评: 本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断,不是很难.