解题思路：（1）当a=1时，f′（x）=3x2+2x，令f′（x）=0得
x＝0或x＝−
2
3
，从而求出函数的单调区间，
（2）由函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，于是对任意的x∈[1，2]恒有f′（x）≥0，即对任意的x∈[1，2]恒有
a≥−
3
2
x
，从而
a≥[−
3
2
x
]
max
，而函数
y＝−
3
2
x
在区间[1，2]上是减函数，进而求出a的范围．
f′（x）=3x2+2ax，
（1）当a=1时，f′（x）=3x2+2x，
令f′（x）=0得x＝0或x＝−
2
3，
∴当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表
x(−∞，−
2
3)−
2
3(−
2
3，0)0（0，+∞）
f'（x）+0-0+
f（x）↑极大值↓极小值↑∴f（x）的递增区间是(−∞，−
2
3)，（0，+∞）；递减区间是(−
2
3，0)．
（2）∵函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴对任意的x∈[1，2]恒有f′（x）≥0，即对任意的x∈[1，2]恒有a≥−
3
2x，
∴a≥[−
3
2x]max，而函数y＝−
3
2x在区间[1，2]上是减函数，
∴当x=1时，函数y＝−
3
2x取最大值−
3
2，
∴a≥−
3
2．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，参数的取值，导数的应用，是一道基础题．