解题思路：首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．
函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有
3+2a+b＝−1
3−2a+b＝−1，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．
①可见f（x）=x3-4x是奇函数，因此①正确；
x∈[-2，2]时，[f′（x）]min=-4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④错误．
②令f′（x）=0，得x=±
2
3
3．
所以f（x）在[-
2
3
3，
2
3
3]内递减，则|t-s|的最大值为
4
3
3，因此②错误；
且f（x）的极大值为f（-
2
3
3）=
16
3
9，极小值为f（
2
3
3）=-
16
3
9，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=
16
3
9，最小值为m=-
16
3
9，则M+m=0，因此③正确．
故选B．
点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数单调性、最值的方法．