Question

设函数f(x)=2^x/(2^x+√2),利用推导等差数列前n项和的方法求Sn=f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)

Answer 1

f(x)+f(1-x)=2^x/(2^x+√2)+2^(1-x)/(2^(1-x)+√2)

=[2^x(2^(1-x)+√2)+2^(1-x)(2^x+√2)]/[(2^x+√2)(2^(1-x)+√2)]

=(2+√2*2^x+2+√2*2^(1-x))/(2+2+√2*2^x+√2*2^(1-x))=1

Sn=f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+……+f((n-1)/n)+f(1)

Sn=f((n-1)/n)+f((n-2)/n)+f((n-3)/n)……+f(1/n)+f(1)

2Sn=1+1+1+…+1+2f(1)=n-1+4/(2+√2)=n+1+√2

所以Sn=(n+1+√2)/2

an=n/(n^2+156)=1/(n+156/n)

因为n+156/n≥2√156

当n=√156时等号成立

又因为n是整数

当n=12时,an=12/300=1/25

n=13时,an=13/325=1/25

所以当n=12或13时,an有最大值1/25