解题思路：（1）由已知条件推导出2nan=2n-1an-1+1．由此能证明{数列bn}是首项和公差均为1的等差数列．从而求出an=
n
2
n
]．
（2）由（1）知[n+1/n
a
n
=（n+1）•（
1
2]）n，利用错位相减法能求出Tn=3-[n+3
2
n
．再用数学归纳法能证明n∈N*且n≥3时，Tn＞
5n/2n+1]．
（3）由an（cn-3n）=（-1）n-1λn可求得cn，对任意n∈N+，都有cn+1＞cn即cn+1-cn＞0恒成立，整理可得（-1）n-1•λ＜（[3/2]）n-1，分n为奇数、偶数两种情况讨论，分离出参数λ后转化为函数最值即可解决．
（1）证明：在Sn=-an-(
1
2)n−1+2（n∈N*）中，
令n=1，得S1=-a1-1+2=a1，解得a1=[1/2]，
当n≥2时，Sn-1=-an-1-（[1/2]）n-2+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+（[1/2]）n-1，
∴2an=an-1+（[1/2]）n-1，即2nan=2n-1an-1+1．
∵bn=2nan，∴bn=bn-1+1，即当n≥2时，bn-bn-1=1，
又b1=2a1=1，∴{数列bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn=1+（n-1）•1=n=2nan，
∴an=[n
2n．
（2）证明：∵an＝
n
2n，∴
n+1/nan=（n+1）•（
1
2]）n，
∴Tn=2×[1/2]+3×（[1/2]）2+…+（n+1）×（[1/2]）n，①
[1/2Tn=2×（
1
2]）2+3×（[1/2]）3+…+（n+1）×（[1/2]）n+1，②
①-②，得：[1/2Tn=1+(
1
2)2+(
1
2)3+…+(
1
2)n−(n+1)•(
1
2)n+1
=1+
1
4[1−(
1
2)n−1]
1−
1
2
点评：
本题考点： 等差数列的性质；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识，考查恒成立问题，考查转化思想，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．
1年前
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