Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=4an+Sn-1-an-1（n≥2，且n∈N*）

Answer 1

解题思路：（1）利用a_n=S_n-S_n-1公式证明；（2）求S_n-a_n并转化恒成立问题；（3）注意讨论．

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，

又∵S_n=4a_n+S_n-1-a_n-1，

∴3a_n=a_n-1，

∴数列{a_n}是等比数列．

（2）∵an=(

1

3)n-1，Sn=

3

2(1-

1

3n)，

∴Sn-an=

3

2(1-

1

3n)-

1

3n-1=[3/2-

1

2•3n-2]

∴不等式a_n+α＞S_n恒成立⇔α＞

3

2-

1

2•3n-2对∀n∈N*恒成立．

α≥

3

2．

∴满足条件α的最小值为[3/2]．

（3）cn=tn[n(lg3+lgt)+lgan+1]=ntnlgt

由题意知c_n+1-c_n＞0（n=1，2，3，…）恒成立，

即cn+1-cn=(n+1)tn+1lgt-ntnlgt=(lgt)[(n+1)t-n]tn＞0对任意正整数n恒成立．

∵t＞0，∴tⁿ＞0

①若t＞1，则lgt＞0且t-1＞0⇒（n+1）t-n＞0，n＞

-t

t-1对任意正整数n恒成立⇒1＞

-t

t-1，∴t＜

1

2或t＞1，∴t＞1．

②若t=1，lgt=0不合题意．

③若1＞t＞0，则lgt＜0，且(n+1)t-n＜0(∵t-1＜0)⇒n＞

-t

t-1对任意正整数n恒成立⇒1＞

-t

t-1，∴0＜t＜

1

2，∴0＜t＜

1

2；

综上，0＜t＜

1

2或t＞1．

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查了an=Sn-Sn-1公式的应用及恒成立问题的处理方法与分类讨论的数学思想．