Question

已知a>0 b>0 c>0且a+b+c=1 求证1/a+b+1/b+c+1/c+a>=9/2

Answer 1

法一：因为2(a+b+c)=2,所以由Cauchy不等式

[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)]>=

(1+1+1))^2=9

即2[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)]>=9

所以1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2

法二：

把 a+b+c=1代入1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2

得2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3

由对称性不妨设a