Question

如图，已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，则AB2+CD2=______．

Answer 1

解题思路：作辅助线“连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N”构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理推知，OM²=DO²-DM²=4-（[DC/2]）2、ON²=OA²-AN²=4-（[AB/2]）2，所以OM²+ON²=4-（[AB/2]）2+4-（[DC/2]）2=1，由此解得AB²+CD²=28．

连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，

∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，

∴四边形OMEN为矩形；

∵OM²+ME²=OE²（勾股定理），

又∵ME²=ON²

∴OM²+ON²=OE²；

∵OM²=DO²-DM²=4-（[DC/2]）²；

又∵ON²=OA²-AN²=4-（[AB/2]）²，

∴OM²+ON²=4-（[AB/2]）²+4-（[DC/2]）²=1，

∴AB²+CD²=28．

故答案是：28．

点评：

本题考点： 垂径定理；勾股定理．

考点点评： 本题主要考查了的是垂径定理和勾股定理．解得该题的关键是通过作辅助线构建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将 AB2+CD2联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解．