Question

证明Hom(V,V*)与V上的双线性函数构成的空间之间存在一个同构映射

Answer 1

任取f属于Hom(V,V*),在任取x,y属于V,那么B(x,y)=[f(x)](y)是一个双线性型

容易用定义验证这个f->B的映射是线性的

由于B=0时f只能是零,利用线性性知f->B的映射是单射

反过来,对于双线性型B(x,y),固定y之后B(x,y)是关于x的线性泛函,即存在g属于Hom(V,V*)使得B(x,y)=[g(x)](y)

也就是说f->B的映射是满射,从而是双射