Question

在△ABC中，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，则△ABC的形状是（　　）

Answer 1

解题思路：通过（a+b+c）（b+c-a）=3bc化简整理得b²-bc+c²=a²，利用余弦定理中求得cosB，进而求得B=60°，把B代入sinA=2sinB cosC中化简整理求得tanA，进而求得A，最后根据三角形内角和求得C，进而可判断三角形的形状．

∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc

∴[（b+c）+a][（b+c）-a]=3bc

∴（b+c）²-a²=3bc

b²+2bc+c²-a²=3bc

b²-bc+c²=a²
根据余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA

∴b²-bc+c²=a²=b²+c²-2bccosA

bc=2bccosA

cosA=[1/2]

∴A=60°

sinA=2sinBcosC

sin（B+C）=2sinBcosC

∴sin（B-C）=0

B=C，∵A=60°，∴B=C=60°

∴△ABC是等边三角形

故选D．

点评：

本题考点： 三角形的形状判断．

考点点评： 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式．