Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°

Answer 1

解题思路：（1）连接AC，交BD于点O，连接MO，由三角形中位线定理易得MO∥PA，进而由线面平行的判定定理得到PA∥平面BDM；

（2）利用等体积法，根据V_M-ADC=V_C-ADM，我们分别计算出S_△ADC，点M到面ADC的距离h₁，S_△ADM的大小，即可求出C点到平面ADM的距离，进而求出直线AC与平面ADM所成角的正弦值．

（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接MO

因为MO是△PAC的中位线，

所以MO∥PA

又因为PA⊄面BDM，MO⊂面BDM

所以PA∥平面BDM

（2）因为S_△ADC=

3，点M到面ADC的距离h₁=

3

2，所以V_M-ADC=

1

3×

3×

3

2=[1/2]．

因为△PDC为等腰三角形，且M为PC的中点，所以DM⊥PC．

取PB的中点E，AD的中点N，连接ME，PN，NE，BN

因为四边形DMEN为平行四边形

所以DM∥NE

又因为△PNB为等腰三角形，所以NE⊥PB

所以DM⊥PB．

因为DM⊥PC，DM⊥PB且PC∩PB=P

所以DM⊥面PBC．

所以DM⊥BC．

因为BC∥AD

所以AD⊥DM，因为DM=

6

2

所以S_△ADM=

1

2×

6

2×2=

点评：

本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得MO∥PA，（2）的关键是根据等体积法，求出C点到平面ADM的距离．