(2011•海珠区一模)已知函数f(x)=13x3+mx2,其中m为实数.

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  • 解题思路:(1)求出函数的导函数,由已知在x=-1处f(x)的切线斜率为[1/3],代入可得f'(-1)=[1/3],进一步得到m的值.

    (2)利用导数f(x)=x2+2mx,对参数m要分m=0,m>0,m<0三种情况来讨论,可借助于x,f'(x),f(x)的变化情况表来解得函数的单调区间.

    (3)f(x)在x=-2处取得极值,即有f'(-2)=0可得到m的值,代入函数解析式y=f(x)求得极值,由函数的图象与直线有三个不同的交点,寻求函数的极值点,得到极值,通过比较函数的极值于参数a之间的关系即可得到结论.

    (1)f'(x)=x2+2mx,f'(-1)=1-2m

    由1−2m=

    1

    3,解得m=

    1

    3.

    (2)f'(x)=x2+2mx=x(x+2m)

    ①当m=0时,f(x)=

    1

    3x3,在(-∞,+∞)上单调递增;

    ②当m>0时x变化时,f'(x),f(x)的变化状态如下表:

    x (-∞,-2m) -2m (-2m,0) 0 (0,+∞)

    f'(x) + 0 - 0 +

    f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2m)和(0,+∞),单调递减区间是(-2m,0).

    当m<0时x变化时,f'(x),f(x)的变化状态如下表:

    x (-∞,0) 0 (0,-2m) -2m (-2m,+∞)

    f'(x) + 0 - 0 +

    f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(-2m,+∞),单调递减区间是(0,-2m).

    综上:当m=0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞);

    当m>0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,-2m)和(0,+∞),单调递减区间是(-2m,0);

    当m<0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(-2m,+∞),单调递减区间是(0,-2m).

    (3)由题意f'(-2)=0,解得m=1.

    所以,f(x)=

    1

    3x3+x2

    由(2)知f(x)在区间(-∞,-2)上递增,在(-2,0)上递减,(0,+∞)上递增

    所以f(x)极大=f(−2)=

    4

    3,f(x)极小=f(0)=0,

    要使直线y=a与y=f(x)的图象有三个不同的交点

    只需,0<a<

    4

    3.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;直线的斜率.

    考点点评: 本题考查函数的导数以及导数的几何意义,利用导数求解函数的单调性和极值问题,考查了二次函数的性质,综合考查了函数与方程的思想,转化与化归的思想,以及分类讨论等数学思想,在求含参数的函数的单调区间时对学生的能力有较高的要求.