Question

（2014•甘肃二模）如图，直三棱柱ABC=A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）先A₁，M，N，C₁四点共面，再证DE∥平面A₁MC₁；（Ⅱ）AM⊥平面A₁MC₁，

V

E−

A

1

M

C

1

=

V

D−

A

1

M

C

1

=

V

M−

A

1

C

1

D

再进行等积转化．

解析：（Ⅰ） 取BC中点为N，连结MN，C₁N，

∵M，N分别为AB，CB中点

∴MN∥AC∥A₁C₁，

∴A₁，M，N，C₁四点共面，…（3分）

∵[CE/EB＝

1

3]，BC中点为N，

∴E是CN中点，又D为CC₁的中点，

∴ED∥NC₁，又ED⊄平面A₁MC₁，NC₁⊂平面A₁MC₁，DE∥平面A₁MC₁…（6分）

（Ⅱ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，

∴AA₁⊥AB，∵5，AC∩AA₁，

∴AB⊥平面AA₁C₁C，∴AM⊥平面A₁MC₁，

∵DE∥平面A₁MC₁，∴

V E−A1MC1=

V D−A1MC1=

V M−A1C1D，

V M−A1C1D=

1

3×AM×

1

2×DC1×A1C1＝

2

12

所以三棱锥E-A₁MC₁的体积为

2

12…（12分）

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查平面与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，根据题目条件，将问题灵活转化是关键，考查逻辑推理能力与计算能力．