Question

设a,b,c∈R+,且a+b>c,求证a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c)

Answer 1

用反推法!

要

a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c)

则

1-1/(1+a)+1-1/(1+b)>1-1/(1+c)

则

1>1/(1+a)+1/(1+b)-1/(1+c)

则

(a+1)(b+1)(c+1)>(c+1)(b+1)+(a+1)(c+1)-(a+1)(b+1)

则

(c+1)(ab+a+b+1-b-1-a-1)>-(a+1)(b+1)

则

(c+1)(ab-1)+(a+1)(b+1)>0

则

abc-c+ab-1+a+b+ab+1>0

则

abc+2ab+a+b-c>0

因为a+b>c a,b,c为正整数

所以原式必然成立