Question

已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a，b，

Answer 1

解题思路：先将12、300分别进行质因数分解：12=2²×3，300=2²×3×5²，

（1）确定a的值．依题意a只能取12或12×5=60或12×25=300；

（2）确定b的值；

当a=12时，b可取12，或12×5，或12×25；

当a=60，300时，b都只能取12；

所以，满足条件的a、b共有5组：

a=12，b=12； a=12，b=60；a=12，b=300；a=60，b=12； a=300，b=12；

（3）确定a，b，c的组数．

对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：

5²，5²×2，5²×2²，5²×3，5²×2×3，5²×2²×3，即25，50，100，75，150，300；

所以满足条件的自然数a、b、c共有：5×6=30（组）．

12=2²×3，300=2²×3×5²，

a=12或a=12×5=60或a=12×25=300；

当a=12时，b=12或b=12×5或b=12×25；

当a=60，300时，b都只能取12；

满足条件的a、b共有5组：

a=12，b=12； a=12，b=60；a=12，b=300；a=60，b=12； a=300，b=12；

对于a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：

25，50，100，75，150，300．

所以满足条件的自然数a、b、c共有：5×6=30（组）

答：满足上述条件的自然数a，b，c共有30组．

点评：

本题考点： 公约数与公倍数问题．

考点点评： 此类题的关键是认真审题，弄清数量间的关系，然后根据题中给出的条件，进行比较、分析，进而得出结论．