Question

一道线性代数题：设a是n维向量,ata=1,证明E-aat是对称幂等矩阵,且不可逆

Answer 1

你那t是转置吧,这里我们换个符号,用a'表示a的转置.

(E-aa')=(E'-(aa')')=E-(a')'a'=E-aa'

所以E-aa'是对称的

而(E-aa')² = E²-2Eaa'+aa'aa'

=E-2aa'+a(a'a)a'=E-2aa'+aa'=E-aa'

所以E-aa'是幂等的

由于a'a=1,所以a≠0,而

(E-aa')a=a-a=0

说明方程组(E-aa')X=0,有非零解.

所以E-aa'不是满秩的,即不可逆