证明两题:设A和B均为n阶非零矩阵,且满足A^2+A=0,B^2+B=0,AB=BA=0,(1)证明入=负1必是A,B的

1个回答

  • (1)证明:A²+A=0,A(A+E)=0,若r(A+E)=n,等式两端右乘(A+E)-1,得A=0,与已知A为n阶非零矩阵矛盾。所以r(A+E)<n,即|A+E|=0,那么根据特征方程|λE-A|=0知,-1必是A的特征值。

    同理 -1必是B的特征值。

    【评注】

    本题是利用秩来解答,根据特征值计算公式得出结论。

    若r(λE-A)<n,则|λE-A|=0,若|λE-A|=0,则r(λE-A)<n

    若| λE-A| = 0,此时λ就是A的特征值。

    (2)设 k1α1+k2α2 = 0 ①

    已知 Aα1=-α1,Bα2=-α2,

    ①两端左乘A,得

    -k1α1+k2Aα2 = 0 ②

    ②两端左乘B,根据BA= 0 得

    -k1Bα1 = 0 ③

    再之,①两端左乘B,得

    k1Bα1 - k2α2 = 0 ④

    ③代入④,得 k2α2 = 0,由于α2非零,那么k2 = 0,同理,k1 =0

    所以①中k1=k2=0,α1,α2线性无关。

    【评注】

    线性无关定义:若等式 k1α1+k2α2+...+ksαs=0 ,k1,k2,...,ks只能取 0,则α1,α2,...,αs线性无关。

    newmanhero 2015年3月14日22:29:53

    希望对你有所帮助,望采纳。