(1)证明:A²+A=0,A(A+E)=0,若r(A+E)=n,等式两端右乘(A+E)-1,得A=0,与已知A为n阶非零矩阵矛盾。所以r(A+E)<n,即|A+E|=0,那么根据特征方程|λE-A|=0知,-1必是A的特征值。
同理 -1必是B的特征值。
【评注】
本题是利用秩来解答,根据特征值计算公式得出结论。
若r(λE-A)<n,则|λE-A|=0,若|λE-A|=0,则r(λE-A)<n
若| λE-A| = 0,此时λ就是A的特征值。
(2)设 k1α1+k2α2 = 0 ①
已知 Aα1=-α1,Bα2=-α2,
①两端左乘A,得
-k1α1+k2Aα2 = 0 ②
②两端左乘B,根据BA= 0 得
-k1Bα1 = 0 ③
再之,①两端左乘B,得
k1Bα1 - k2α2 = 0 ④
③代入④,得 k2α2 = 0,由于α2非零,那么k2 = 0,同理,k1 =0
所以①中k1=k2=0,α1,α2线性无关。
【评注】
线性无关定义:若等式 k1α1+k2α2+...+ksαs=0 ,k1,k2,...,ks只能取 0,则α1,α2,...,αs线性无关。
newmanhero 2015年3月14日22:29:53
希望对你有所帮助,望采纳。