Question

1.a,b为正实数,a不等于b,x>0,y>0,比较a^2/x+b^2/y与(a+b)^2/(x+y)的大小,并指出两式

Answer 1

1.

该题比较大小用作差法

首先,分母都化成xy(x+y),则

a^2/x+b^2/y=(xya^2+xyb^2+y^2*a^2+x^2*b^2)/(xy(x+y))

(a+b)^2/(x+y)=(xya^2+xyb^2+2xyab)/(xy(x+y))

两式相减得(y^2*a^2+x^2*b^2-2xyab)/(xy(x+y))=(ya-bx)^2/(xy(x+y))

因为x>0,y>0,则该式分母恒大于0,分子大于等于0

所以a^2/x+b^2/y>=(a+b)^2/(x+y),当且仅当ya=bx时,两式相等

2.

因0=25

当且仅当(2/x)/(2x)=9/(1-2x)/(1-2x),即x=1/5时,等号成立,最小值是25