Question

是否存在一个等比数列{an}同时满足下列三个条件：①a1+a6=11且a3a4=[32/9]；②an+1＞an（n∈N*

Answer 1

解题思路：假设存在等比数列{a_n}同时满足三个条件，由①②结合等比数列的性质求得a₁、a₆的值，从而求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式，结合[2/3]a_m-1，a_m²，a_m+1+[4/9]成等差数列求出m的值为3，与m＞4矛盾，说明假设错误．

假设存在等比数列{a_n}同时满足三个条件，

由①可得

a1+a6＝11

a1a6＝

32

9，

由②可知数列{a_n}是递增的，则a₆＞a₁，

解上面方程组得

a1＝

1

3

a6＝

32

3，

设等比数列的公比q，则q5＝

a6

a1＝32，q=2．

此时an＝

1

3×2n−1．

由③可知2am2＝

2

3am−1+(am+1+

4

9)

⇔2(

1

3×2m−1)2＝

2

3×

1

3×2m−2+(

1

3×2m+

4

9)．

解得m=3，与已知m＞4矛盾．

故这样的数列{a_n}不存在．

点评：

本题考点： 等差数列的性质．

考点点评： 本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式得求法，属中档题．