Question

设数列{an}前n的项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3（n∈N*）．其中m为常数，m≠-3且m≠0

Answer 1

解题思路：（1）根据所给的关系式（3-m）S_n+2ma_n=m+3，仿写一个关系式，两式相减，减掉了前n项和的形式，变成数列的递推式，得到连续两项的比值等于常数，证出是一个等比数列．

（2）根据所给的关于数列的关系式，看清题目的发展方向是求通项的倒数是一个等差数列，需要把关系式两边同时除以连续两项的积，得到结论，写出通项．

（1）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3，得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，

两式相减，得（3+m）a_n+1=2ma_n，（m≠-3）

∴

an+1

an＝

2m

m+3，

∴{a_n}是等比数列．

（2）由b₁=a₁=1，q=f（m）=[2m/m+3]，

n∈N且n≥2时，b_n=[3/2]f（b_n-1）=[3/2]•

2bn−1

bn−1+3得

b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1⇒[1

bn-

1

bn−1=

1/3]．

∴{

1

bn}是1为首项[1/3]为公差的等差数列，

∴[1

bn=1+

n−1/3]=[n+2/3]，故有b_n=[3/n+2]．

点评：

本题考点： 等比关系的确定；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查有递推式求通项，这是数列中常见的一种题目，在解题时注意要求证明数列是等比数列或等差数列，需要按照数列的定义来看题目的思路．