使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是______.

1个回答

  • 解题思路:利用公式1=cos2x+sin2x,进行代换,可得cos2x+(1-a)cosx-a2≤0,然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解.

    1-cos2x+acosx+a2≥1+cosx⇒cos2x+(1-a)cosx-a2≤0,

    令t=cosx,

    ∵x∈R,

    ∴t∈[-1,1],

    t2+(1-a)t-a2≤0,

    1+1−a−a2≤0

    1−1+a−a2≤0

    a<0⇒

    a2+a−2≥0

    a2−a≥0

    a<0⇒

    a≤−2或a≥1

    a≤0或a≥1

    a<0⇒a≤−2.

    故答案为a≤-2.

    点评:

    本题考点: 其他不等式的解法.

    考点点评: 此题考查函数的恒成立问题,是一道中档题,利用不等式的性质进行求解.