Question

已知椭圆c： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F 1 、F 2 ，上顶点A（

Answer 1

（1）由题意，得

a=2c

a+a+2c=6

a 2 = b 2 + c 2 ，解之得a=2，b=

3 ，c=1

故椭圆C的方程为

x 2

4 +

y 2

3 =1，离心率e=

1

2 ；

（2）∵△AF ₁F ₂是正三角形，可得直线AF ₁的斜率为k=tan

π

3 =

3

∴直线AF ₁的方程为y=

3 （x+1）

设点O关于直线AF ₁的对称点为M（m，n），则

n

m •

3 =-1

n

2 =

3 (

m

2 +1) ，

解之得m=-

3

2 ，n=

3

2 ，可得M坐标为（-

3

2 ，

3

2 ），

∵|PO|=|PM|，|PF ₂|+|PO|=|PF ₂|+|PM|＞|MF ₂|

∴|PF ₂|+|PM|的最小值为|MF ₂|=

(-

3

2 -1 ) 2 +(

3

2 -0 ) 2 =

7

直线MF ₂的方程为y=

3

2 -0

-

3

2 -1 （x-1），即y=-

3

5 （x-1）

由

y=-

3

5 (x-1)

y=

3 (x+1) 解得

x=-

2

3

y=

3

3 ，所以此时点P的坐标为（-

2

3 ，

3

3 ）．

综上所述，可得求|PF ₂|+|PO|的最小值为

7 ，此时点P的坐标为（-

2

3 ，

3

3 ）．