已知a,b为实数,且满足16a2+2a+8ab+b2-1=O,求3a+b的最小值.

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  • 解题思路:设m=3a+b,则b=m-3a,再把b代入16a2+2a+8ab+b2-1=O,整理得到关于a的一元二次方程,然后利用判别式得到关于m的不等式,解不等式得到m的范围,即可确定3a+b的最小值.

    设m=3a+b,则b=m-3a,

    把它代入16a2+2a+8ab+b2-1=O,

    ∴16a2+2a+8a(m-3a)+(m-3a)2-1=O,

    ∴a2+2(m+1)a+m2-1=O,

    ∵a为实数,

    ∴△≥0,即4(m+1)2-4(m2-1)≥O,

    解得m≥-1.

    ∴3a+b的最小值为-1.

    点评:

    本题考点: 根的判别式.

    考点点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了利用换元构建一元二次方程的方法.