Question

已知函数F（x）=2 x 满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若不等式g（

Answer 1

由F（x）=g（x）+h（x）即2 ^x=g（x）+h（x）①，得2 ^-x=g（-x）+h（-x），

又g（x），h（x）分别为偶函数、奇函数，所以2 ^-x=g（x）-h（x）②，

联立①②解得，g（x）=

2 x + 2 -x

2 ，h（x）=

2 x - 2 -x

2 ．

g（2x）+ah（x）≥0，即

2 2x + 2 -2x

2 +a•

2 x - 2 -x

2 ≥0，也即（2 ^2x+2 ^-2x）+a（2 ^x-2 ^-x）≥0，即（2 ^x-2 ^-x） ²+2+a（2 ^x-2 ^-x）≥0，

令t=2 ^x-2 ^-x，∵x∈[1，2]，∴t∈[

3

2 ，

15

4 ]，则不等式变为t ²+2+at≥0，

所以不等式g（2x）+ah（x）≥0对∀x∈[1，2]恒成立，等价于t ²+2+at≥0对t∈[

3

2 ，

15

4 ]恒成立，也即a≥-t-

2

t 对t∈[

3

2 ，

15

4 ]恒成立，

令y=-t-

2

t ，t∈[

3

2 ，

15

4 ]，则y′=-1+

2

t 2 =

2- t 2

t 2 ＜0，所以y=-t-

2

t 在[

3

2 ，

15

4 ]上递减，

所以y _max=-

3

2 -

2

3

2 =-

17

6 ，所以a≥-

17

6 ．

故答案为：a≥-

17

6 ．