Question

（2014•安徽模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=[1/2]（an2+an），an＞0．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用公式法求得a_n-a_n-1=1，由等差数列定义的数列{a_n}是等差数列，即可求得通项公式；

（Ⅱ）利用错位相减法求得数列和，由数列的递增性及放缩法即可得出结论．

（Ⅰ）当n≥2时，

a2n−1+a_n-1-2S_n-1=0，

∴（a_n-a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，

∴a_n-a_n-1=1，

又当n=1时，

a21+a₁-2a₁=0，∴a₁=1，

∴a_n=1+（n-1）=n；

（Ⅱ）∵T_n=1•(

1

2)0+2•(

1

2)1+…+n•(

1

2)n−1，

∴[1/2]T_n=1•(

1

2)1+2•(

1

2)2+…+n•(

1

2)n，

两式相减得[1/2]T_n=1+[1/2]+…+(

1

2)n−1-n•(

1

2)n，

T_n=4[1-(

1

2)n]-n•(

1

2)n+1=4-4•(

1

2)n-n•(

1

2)n+1=4-（2n+4）(

1

2)n，

∴T_n＜4，

又∵T_n+1-T_n=4-（2n+6）(

1

2)n+1-4+（2n+4）(

1

2)n=(

1

2)n（n+1）＞0，

∴T_n≥T₁=1，

∴存在正整数m=1满足题意．

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题主要考查数列通项公式及前n项和的求法，考查学生的运算求解能力，属中档题．