Question

已知函数f（x）=ax 2 +bx+c满足f（1）=1，f（-1）=-1．（1）求实数b值；（2）若不等式f（x）≥-2

Answer 1

（1）∵函数f（x）=ax ²+bx+c满足f（1）=1，f（-1）=-1，

∴a+b+c=1，a-b+c=-1，解得 b=1，且 a+c=0．

（2）由上知 f（x）=ax ²+x-a，

∵不等式f（x）≥-2恒成立，

∴ax ²+x+2-a≥0 恒成立，

∴

a＞0

△ = 1 - 4a(2-a)≤0 ，解得 0＜a≤1+

3

2 ．

故实数a的取值范围为 {a|0＜a≤1+

3

2 }．

（3）由函数y=f（x）存在最大值M（a），f（x）=ax ²+x-a，

故a＜0，且最大值 M（a）=

-4 a 2 -1

4a =（-a）+（

-1

4a ）≥2

1

4 =1，

当且仅当 （-a）=（

-1

4a ），即 a=-

1

2 时，等号成立，

故M（a）的最小值为1．